Vecteur normal à une droite

L'objectif de cette activité est de découvrir la notion de vecteur normal à une droite.

Soit  \((\text O;\vec i;\vec j)\)  un repère orthonormé et  `(d)`  la droite d'équation cartésienne  `2x-y+4=0` . 

1. Montrer que le point  `\text{A}`  de coordonnées  `(-1;2)`  appartient à la droite  `(d)` . 
2.   Justifier que le vecteur `` \(\require{\asm}\vec{u}\begin{pmatrix}-3 \\ -6\end{pmatrix}\)  est un vecteur directeur de la   droite  `(d)` .
3. Déterminer les coordonnées d'un autre vecteur directeur de la   droite  `(d)` .

4. On considère la droite  \((d')\)  d'équation cartésienne   \(x+2y-3=0\) . 
   a. Donner les coordonnées d'un vecteur directeur de la droite  \((d')\)  que l'on nommera \(\vec{v}\) . 
   b. Calculer le produit scalaire  \(\vec{u}\cdot \vec{v}\) . Que peut-on déduire des droites \((d)\)  et  \((d')\)  ? On dit que le vecteur   \(\vec{v}\)  est un vecteur normal à la droite  \((d)\) .
   c. Démontrer que, pour tout vecteur directeur \(\vec u\) de la droite `(d)`   et tout vecteur directeur  \(\vec{v}\) de la droite  \((d')\) , on a  \(\vec{u}\cdot \vec{v}=0\) .

5. Soit \(a,b\) , \(c\) trois réels, \(a,b\) non simultanément nuls, et une droite  \((\Delta)\) d'équation cartésienne  \(ax+by+c=0\) . 
Déterminer, en fonction de  \(a\) et \(b\) , les coordonnées d'un vecteur directeur à la droite \((\Delta)\)  et celles d'un vecteur normal.